تعاریف و مفاهیم اولیه
تعریف:
فرض کنید F یک تابع از n+2 متغیر مستقل باشد، معادله
F( x, y, y',y'',…, y(n) ) = 0
یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه n ام نامیده می شود .
در واقع این معادله ، رابطه بین x و تابع y(x) و n مشتق اول آن را بیان می کند .
منظور از جواب یک معادله دیفرانسیل، تابع یا توابعی است که در معادله صدق می کند .
مثال 1: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم y''-y=0 را در نظر بگیرید
توابع y(x)=ex وy(x)=e-x جواب معادله اند زیرا
اگر y=ex داریم y'=ex و y''=ex و y'' - y' = 0
و اگر y=e-x داریم y'= -e-x و y''=e-x و y'' - y' = 0
همچنین تابع y=c1ex + c2e-x نیز به ازای ثابت های c1 و c2 دلخواه جواب معادله است زیرا
y'=c1ex - c2e-x
y''=c1ex + c2e-x
y'' – y = 0
مثال 2: معادله دیفرانسیل x2y'' – xy' + y =2lnx را در نظر بگیرید . می خواهیم تحقیق کنیم آیا y = 2 lnx +4 جواب معادله است یا خیر؟
y' = 2/x , y'' = -2/x2
در این صورت
x2(-2/x2 )– x(2/x) + (2 lnx +4) =2lnx
-4 +2 lnx +4 = 2 lnx
تساوی فوق نشان می دهد که تابع y=2 lnx +4 جواب معادله است.
تذکر: هر معادله دیفرانسیل لزوماً دارای جواب نیست . مثلاً تابع هیچ تابع حقیقی از x در معادله |y'|+ 1 = 0 صدق نمی کند.
تعریف درجه یک معادله دیفرانسیل :
اگر معادله دیفرانسیل به صورت چند جمله ای بر حسب تابع مجهول و مشتقاتش باشد، درجه آن معادله را توان ِ بزرگترین مشتق تابع مجهول درمعادله تعریف می کنیم.
مثال: در معادله (y'')3 + 3(y')5 =0 مرتبه 2 و درجه 3 است.
برای معادله y' + ln y -1 =0 درجه تعریف نمی شود ولی مرتبه آن 1 می باشد .
نکته: مرتبه یک معادله عددی طبیعی است و همواره وجود دارد در حالی که درجه یک معادله در صورت وجود می تواند عدد حقیقی مخالف صفر باشد.
جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل شکل کلی تمام توابعی است که جواب معادله باشند. به عبارت دقیق تر جواب عمومی معادله مرتبه n ، تابعی شامل n ثابت دلخواه است که به ازای هر مجموعه ازمقادیر این ثابت ها در معادله صدق می کند.
جواب خصوصی: اگر در جواب عمومی به ثابت ها مقادیر معین نسبت دهیم ، جواب های خصوصی بدست می آیند.
جواب غیر عادی در یک معادله دیفرانسیلی جوابی است که نتوان آن را از جواب عمومی بدست آورد .
در معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ، جواب عمومی، از نظر هندسی، خانواده ای از منحنی ها در صفحه را نشان می دهد.
با داشتن جواب عمومی نیز می توان به معادله دیفرانسیل مربوطه پی برد.
به مثال زیر توجه کنید:
مثال 1 : فرض کنیم معادله دوایر در دستگاه قطبی به صورت r = 2c(sinq - cos q ) باشد . معادله دیفرانسیل آن را پیدا کنید.
حل: چون جواب عمومی یک ثابت دارد، در دستگاه قطبی از r نسبت به q یک بار مشتق می گیریم :
r' = 2c( cosq + sinq )
حال مقدار c را در دو رابطه فوق حذف می کنیم
با قرار دادن مقدار c در y'، معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود
r(sinq + cosq ) = r'( sinq - cosq )
مثال2: معادله دیفرانسیل خانواده دو پارامتری y=ln cos(x –c1) + c2 را پیدا کنید:
حل : با توجه به اینکه این خانواده 2 ثابت دارد و در تعریف جواب عمومی ذکر شد که تعداد ثابت ها برابر با مرتبه معادله است، لذا معادله مورد نظر از مرتبه 2 خواهد بود . پس با 2 بار مشتق گیریاز جواب عمومی داریم:
y'' = -1( 1+ tan2(x-c1) )
در این مثال حذف c1 از روابط فوق دشوار خواهد بود اما از رابطه y' = -tan(x-c1) داریم
(y')2=tan2(x-c1)
که با قرار دادن آن در رابطه y'' داریم :
y'' = -1(1 + (y')2) Þ y'' = -1( 1 + (y')2) Þ y'' + y'2 = 1
تعریف:
شکل کلی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n به صورت زیر است :
که در آن an(x)¹0 و g(x) و ai(x) برای هر i =0 ,…, n توابعی از x هستند که می توانند ثابت نیز باشند.
هر معادله دیفرانسیل که خطی نباشد را غیر خطی گوییم.
دانشجویان و علاقه مندان می توانند به کتاب های دیفرانسیل از جمله کتاب معادلات دیفرانسیل و کاربرد های آن تالیف دکتر اصغر کرایه چیان مراجعه کنند.
واژه نامه
ضریب Coefficient
دیفرانسیل Differential
جواب عمومی General solution
مرنبه Order
جواب خصوصی Particular solution
جواب Solution
قضیه Theorem
جواب صفر Trivial solution
|
