انتگرال های دوگانه

توضح :

با توجه به اینکه، اکثر امتحانات میان ترم دانشجوبان به پایان رسیده ، لازم دانستیم مطالب را از سر فصل هایی که بیشتر مورد نیاز فعلی دانشجویان است آغاز کنیم . ادامه مطالب قبلی در اسرع وقت بیان می شود تا انسجام مطالب حفظ شود.

انتگرال های دو گانه

این بخش را با این فرض، که دانشجویان با انتگرال های ساده (یگانه) و روش های محاسبه آن آشنایی دارند، پی می گیریم.خواهیم دید که بین انتگرال های دوگانه و سه گانه و انتگرال های ساده ، شباهت های بسیای وجود دارد. می توان انتکرال های دو گانه را با روش های حل انتگرال های ساده ، طی چند مرحله محاسبه نمود.

منظور از انتگرال دوگانه تابع  f(x,y) در صورتی که  f(x,y)>0، محاسبه حجم جسم محصور بین رویه f(x,y) و صفحات داده شده در هر مساله است.

تعریف انتگرال دوگانه:

فرض کنبم f(x,y) بر ناحیه مستطیل شکل R= { (x,y) | a £ x £ b , c £ y £ d } تعریف شده باشد. ناحیه R را با خطوط موازی با محور xها و yها به قطعات کوچکتر DA تقسیم می کنیم که DA= DxDy . فرض کنیم n تعداد این قطعات در ناحیه R باشد. با این شرایط ، اگر (x₁,y₁) نقطه ای در DA_k باشد ، می توانیم حاصل جمع زیر را تشکیل دهیم 

 اگر تابع f در سراسر ناحیه R پیوسته باشد، با میل دادن Dx و Dy به سمت صفر ( یا قطر قطعه ها به سمت صفر ) تعداد قطعه ها به سمت بی نهایت میل خواهد کرد و مجموع فوق به حدی میل خواهد کرد که آن را با نماد امتگرال دوگانه f روی R نشان می دهیم. یعنی

خواص انتگرال دوگانه

  (i

ii) 

 (iii

(iv

اگر R به صورت اجتماع R₁ و R₂ که با هم تداخل ندارند بشد( R= R₁ÈR₂  به طوری که R₁ÇR₂ حداکثر یک خط باشد ) در این صورت

نکته: ویژگی 3 در صورتی که g(x,y) º 0 باشد نیز صادق است.

قضیه : اگر f(x,y) نر ناحیه مستطیلی R= { (x,y) | a £ x £ b , c £ y £ d } پیوسته باشد، داریم

توضیح: برای محاسبه انتگرال  با همین ترتیب، ابتدا از تابع تحت انتگرال نسبت به x انتگرال معین گرفته و سپس از تابع بدست آمده نسبت به y انتگرال معین می گیریم .

قضیه فوق بیان می کند در صورتی که تابع بر ناحیه R پیوسته باشد، با تغییر ترتیب انتگرال گیری، حاصل انتگرال ثابت می ماند.( توجه کنید که با تغییر ترتیب انتگرال گیری، کران ها نیز تغییر می کنند.)

مثال : مقدار انتگرال زیر را در ناحیه R={ (x,y) | 0£ x £ 2 , -1£ y £ 1 }  محاسبه کنید.

= (2-8) – ( -2-8) = 4