ممجموعه مرتب :

A را یک مجموعه مرتب گوییم هرگاه یک رابطه ترتیب که با > نموده می شود در A وجود داشته باشد ، به طوری که

i)      برای هرx , yÎA  داشته باشیم : x<y  یا x=y  یا x>y 

ii)  هرگاه  x,y,z ÎA    و x<y و y<z  آنگاه x<z  .

نکته: x £ y یعنی x < y  یا x = y ، به عبارت دیگر x £ yنقیض x>y   است .

مجموعه از بالا کراندار :

E ÍS  را از بالا کراندار گوییم هرگاهaÎS  موجود باشد به طوری که برای هر xÎE   داشته باشیم  x£a . در این صورتa را یک کران بالای E درS  گوییم .

مجموعه از پایین کرندار :

EÍS  را از پایین کراندار گوییم هرگاهaÎS  موجود باشد به طوری که برای هر xÎE   داشته باشیم x ³a . در این صورتa را یک کران پایین E درS  گوییم .

مجموعه E را در S کراندار گوییم هرگاه حداقل دارای یک کران بالا و یک کران پایین در S باشد .

کوچکترن کران بالا :

a را کوچکترین کران بالای E درS  گوییم و با نماد a = supE نشان می دهیم هرگاه

i)          aکران بالای E درS باشد

ii)       هرگاه bÎS و a b< ، آنگاهb   کران بالایE  درS نباشد.

بزرگترین کران پایین:

 a را بزرگترین کران پایین E درS  گوییم و با نماد a = inf E نشان می دهیم هرگاه

i)         aکران بالای E درS باشد

ii)      هرگاه bÎS  وb>a ، آنگاهb  کران پایینE  درS نباشد.

مثال: اگر  در این صورت A = { xÎR | x ³1 }  ، مجموعه تمام کران های  بالای S را تشکیل می دهد  و sup S = 1 و همچنین B={xÎR | x £ 0} ، مجموعه تمام کران های پایین S است و inf S = 0 .    

با توجه به مثال فوق در می یابیم که کران بالا و پایین منحصر به فرد نیستند ولی کوچکترین کران بالا و بزرگترین کران پایین منحصر به فردند.

 برای اثبات منحصر به فرد بودن sup S ، فرض کنیم a₁ و a₂ کوچکترین کران های بالای S باشند . چونa₁ کوچکترین کران بالای S  است و a₂ کران بالایS  است پس a₁£ a₂   وازطرفی چون a₂ کوچکترین کران بالای S است، و نیزa₁ کران بالایی ازS است پس a₁³a₂   ولذا  a₁=a₂.

تعریف: گوییم مجموعه S خاصیت کوچکترین کران بالایی دارد هرگاه به ازای هر زیر مجموعه غیر تهی مانند E از S که E در S از بالا کراندار باشد، آنگاه sup E در S موجود باشد.

قضیه زیر نشان می دهد که میان بزرگترین کران های پایین و کوچکترین کران های بالا رابطه نزدیکی وجود دارد .

قضیه: فرض کنیم S مجموعه ای مرتب با خاصیت کوچکترین کران بالایی باشد، و BÌS و B ¹ f و B از بالا کراندار باشد. همچنین، L را مجموعه تمام کران های پایینی B می انگاریم. در این صورت ، a=sup L درS موجود است و a=inf B . بخصوص inf B در S وجود دارد .

برهان:L={xÎS | "aÎB ; x £ a}  ، چون B از پایین کراندار است لذا  L¹ f ، با توجه به تعریف L ، هرxÎB  یک کران بالا برای L  است . پس L از بالا کراندار است. چون S دارای خاصیت کوچکترین کران بالایی است پسa=sup L   درS موجود است . حال اگر g<a ، آنگاه یک کران بالایی برای L نیست. پس gÏB. لذا به ازای هرxÎB، a£x بنابراین aÎL. هرگاه a<b، آنگاه bÏL  زیرا a کوچکترین کران بالای L است . یعنی نشان داده ایم که aÎL ولی ، اگرb>a آنگاه bÏL. به عبارت دیگر، a یک کران پایین B است ولی b>a ، کران پایینB  نیست. پس a بزرگترین کران پایین B یعنی inf B است.

واژه نامه

کران                                           bound

کراندارbounded                                   

از بالا کراندار                 bounded above

از پایین کراندار       bounded below       

مجموعه کراندار           bounded set       

عنصر، عضو                             element

عضو یک مجموعه        element of a set  

اینفیمم infimum                                       

ترتیب order                                         

رابطه ترتیبorder relation                    

عدد گویا                      rational number

اعداد حقیقی real numbers                        

مجموعه اعداد حقیقی real numbers set       

سوپریمم                               supremum

دنباله ها و سری های عددی

دنباله های همگرا

تعریف: دنباله {p_n  }   در فضای متری  X را همگرا نامند، هرگاه نقطه ای مانند   pÎX  با خاصیت زیر وجود داشته باشد که  به ازای هر e>0  عدد صحیحی چون N باشد بطوری  که n ³ N  نامساوی  d(p_n,p)< e  را ایجاب کند.( در اینجا d نشانگر فاصله در X  است)

در این صورت گوییم{ p_n }   به p همگراست ، یا p  حد { p_n } است و می نویسیم p_n® p  یا  limp_n=p (n® ¥).  

 هر گاه{ p_n  }  همگرا نباشد آن را واگرا گویند.

مجموعه تمام نقاط p_n  (n = 1,2,3,… )  برد {  p_n} است.که می تواند مجموعه ای متناهی یا نامتناهی باشد .

دنباله {  p_n} را در صورتی کراندار گویند که بردش کراندار باشد .