ادامه فضاهای برداری

قضیه : اگر T : V ® W یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا باشد ، آنگاه T^-1 : V ® W نیز یک تبدیل خطی است.

برهان : چون T پوشاست داریم    

             lw₁ +w₂ = TT^-1(lw₁ +w₂)

از طرفی چون T تبدیل خطی    

                                         lw₁ +w₂ = lTT^-1 w₁ + TT^-1 w₂ =T(lT^-1 w₁ + T^-1 w₂)

بنابراین

 TT^-1(lw₁ +w₂) = T(lT^-1 w₁ + T^-1 w₂)                                               

چون T یک به یک است

         T^-1(lw₁ +w₂) = lT^-1 w₁ + T^-1 w₂                                                                

 یعنی T^-1 تبدیل خطی است .

نکته : دو فضای برداری ، یکریخت نامیده می شوند ، هرگاه یک تبدیل خطی یک به یک و پوشا بین آن ها موجود باشد .  اگر VوW یکریخت باشند می نویسیم V @ W

فرض کنید v₁,v₂,…,v_n و v بردارهایی در V باشند و a₁,a₂,…, a_n اسکالر هایی در F باشند و

 v = a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n باشد،آنگاه v را ترکیب خطی بردارهای v₁,v₂,…,v_n می گویند .

اگر به ازای هر j ی a_j ¹ 0 آنگاه 

 a_jv_j = v - a₁v₁ - …- a_j-1v_j-1- a_j+1v_j+1- … - a_nv_n                                                       

 پس 

 v_j = a^-1_j v - a^-1_ja₁v₁ - …- a^-1_j a_j-1v_j-1- a^-1_j a_j+1v_j+1- … - a^-1_j a_nv_n                                                     

 یعنی v_j ترکیب خطی v,v₁,v₂,…,v_j-1 ,v_j+1 ,…, v_n   است .

مثال: بردار (a ,b) در R² ترکیب خطی بردار های (1 , 0)  و (0 , 1)   به صورت زیر است

(a ,b) = a(1 ,0 ) + b(0,1)                                                   

مثال : آیا(a ,b) ترکیب خطی(2,2 )  و(0 ,1) است؟

(a , b) = a(0 ,1)+b(2 ,2) Þb=a/2 , a = b-a                                               

تعریف: بردار های   v₁,v₂,…,v_n  را مستقل خطی گوییم هر گاه

   "  a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n = 0 Þ a₁ = … = a_n = 0                                        

در غیر این صورت این بردار ها را وابسته خطی گوییم .

پس بردارهای   v₁,v₂,…,v_n  وابسته خطی اند هرگاه اسکالرهایی مانند a₁,a₂,…, a_n  که همگی آن ها تواما ً صفر نیستند ، موجود باشند که

   a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n = 0                                                       

تعریف : فرض کنیم V یک فضای برداری باشد و WÍ V . اگرW   با همان  اعمال  V  تشکیل یک فضای برداری دهد، آنگاه آن را یک زیر فضای برداری V گویند و می نویسند W£V.

نکته : همیشه{0}  و W زیر فضاهای W هستند که ان ها را زیر فضاهای بدیهی می نامند .

قضیه : W£V اگر و تنها اگرW  نسبت به اعمال جمع و ضرب اسکالر بسته باشد .

مثال : زیر فضاهای R² عبارتند از :

{0} و R  و خطوط مار بر مبدا

مثال : در M₂(F) 

همگی زیر فضاهای M₂(F) هستند .

نکته : در حالت کلی  اگرV  فضای برداری روی میدان F باشد و K £ F  ، V فضای برداری روی K نیز هست . مثال زیر نشان می دهد که عکس مطلب  برقرار نیست .

مثال : اگر W= { (a,0,0 ) | a Î Q }باشد ، آنگاه W زیر فضای R³( روی R ) نیست زیرا  ( 1,0,0) ÎW اما Ö2 ( 1,0,0 )ÏW .

مثال : چند جمله ای های شامل ضرایب حقیقی، یک فضای برداری حقیقی، همراه با اعمال جمع چند جمله ای ها و ضرب عدد در چندجمله ای، است .

فرض کنیم V یک فضای برداری و {W_a } خانواده ای از زیر فضاهای آن باشد، در این صورت       نیز زیر فضا است.زیرا

 اما اجتماع دوزیر فضا در حالت کلی یک زیر فضا نیست . مثلا ً محور x ها و yها را در R² در نظر بگیرید .

زیر فضای تولید شده: فرض کنید S یک زیر مجموعۀ فضای برداری V باشد. در این صورت زیر فضای تولید شده توسط S که با áSñ نشان داده می شود، عبارتست ازاشتراک تمام زیر فضاهای V که شامل S باشند ، یعنی  

واژه نامه